Question

已知函数y=x³-3x+c的图象与x轴至少有两个公共点，则c的取值范围是（　　）

• A、[-2，2]
• B、（-2，2）
• C、[2，+∞）
• D、（-∞，-2]

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：函数y=x³-3x+c的图象与x轴至少有两个公共点，等价为f_极小值（x）≤0≤f_极大值（x），利用导数求函数 的最值即可得到结论．

解答： 解：函数的导数为y′=f′（x）=3x²-3=3（x-1）（x+1），
由f′（x）=3（x-1）（x+1）＞0，解得x＞1或x＜-1，此时函数单调递增，
由f′（x）=（x-1）（x+1）＜0，解得-1＜x＜1，此时函数单调递减，
在x=-1，函数f（x）取得极大值f_极大值（x）=f（-1）=2+c，
在x=1，函数f（x）取得极小值f_极小值（x）=f（1）=-2+c，
要使y=x³-3x+c的图象与x轴至少有两个公共点，等价为f_极小值（x）≤0≤f_极大值（x），
即

-2+c≤0 2+c≥0

，
则

c≤2 c≥-2

，
解得-2≤c≤2，
故c的取值范围是[-2，2]，
故选：A

点评：本题主要考查函数方程个数的应用，求函数的导数判断函数的单调性和极值，利用数形结合是解决本题的关键．