Question

若f（x）=-

1

2

x²+blnx在[1，+∞）上是减函数，则b的取值范围是（　　）

• A、[-1，+∞）
• B、（-1，+∞）
• C、（-∞，1]
• D、（-∞，-1）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：先求f′（x），要让f（x）在[1，+∞）是减函数，只要f′（x）＜0，所以讨论b的取值，通过观察所求的导函数，分b≤0，b＞0，两种情况进行讨论，对于b大于0的情况，求出f（x）的单调减区间，让区间[1，+∞）含于所求单调减区间即可求得b的取值．

解答： 解：f′（x）=-x+

b

x

=

b-x2

x

，所以：
b≤0时，对于x∈（0，+∞），f′（x）＜0，∴f（x）在[1，+∞）上是减函数；
b＞0时，∵x＞0，∴解

b-x2

x

＜0得x＞

b

，即函数f（x）在[

b

，+∞）上是减函数，∴

b

≤1，∴0＜b≤1．
综上可得b的取值范围是（-∞，1]．
故选C．

点评：考查利用导数判断函数的单调性，求函数的单调区间，本题需注意的是，求得f（x）在[

b

，+∞)上单调递减后，需限制它包含区间[1，+∞），从而得出b的取值范围．