Question

如图，已知正三角形ABC的边长为1，点P是AB边上的动点，点Q是AC边上的动点，且

AP

=λ

AB

，

AQ

=（1-λ）

AC

，λ∈R，则

BQ

•

CP

的最大值为

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：由正三角形ABC的边长为1，可得

AB

•

AC

=1×1×cos60°．再利用向量的三角形法则可得

BQ

•

CP

=(

BA

+

AQ

)•(

CA

+

AP

)=[

BA

+(1-λ)

AC

]•(

CA

+λ

AB

)，利用数量积的性质展开，再利用二次函数的单调性即可得出．

解答： 解：∵正三角形ABC的边长为1，∴

AB

•

AC

=1×1×cos60°=

1

2

．
∴

BQ

•

CP

=(

BA

+

AQ

)•(

CA

+

AP

)
=[

BA

+(1-λ)

AC

]•(

CA

+λ

AB

)
=

AB

•

AC

-λ

AB

2-（1-λ）

AC

2+λ(1-λ)

AB

•

AC

=

1

2

-λ-（1-λ）+λ(1-λ)×

1

2

=-

1

2

(λ-

1

2

)2-

3

8

，
∵0≤λ≤1，
∴当λ=

1

2

时，

BQ

•

CP

取得最大值-

3

8

．
故答案为：-

3

8

．

点评：本题考查了正三角形的性质、向量的三角形法则、数量积的性质、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．