Question

F₁、F₂为椭圆的两个焦点，过F₂的直线交椭圆于A、B两点，AF₁⊥AB，且|AF₁|=|AB|，则椭圆的离心率为

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设|AF₁|=t，则|AB|=t，|F₁B|=

2

t，由椭圆定义有|AF₁|+|AB|+|F₁B|=4a，求得|AF₂|关于t的表达式，进而利用韦达定理可求得a和c的关系．

解答： 解：设|AF₁|=t，则|AB|=t，|F₁B|=

2

t，由椭圆定义有：|AF₁|+|AF₂|=|BF₁|+|BF₂|=2a
∴|AF₁|+|AB|+|F₁B|=4a，
化简得（

2

+2）t=4a，t=（4-2

2

）a
∴|AF₂|=2a-t=（2

2

-2）a
在Rt△AF₁F₂中，|F₁F₂|²=（2c）²
∴[（4-2

2

）a]²+[（2

2

-2）a]²=（2c）²
∴（

c

a

）²=9-6

2

∴e=

6

-

3

故答案为：

6

-

3

．

点评：本题主要考查了椭圆的简单性质，考查了学生对椭圆定义的理解和运用．