Question

在△ABC中a、b、c分别为角A、B、C所对的边长，已知：C=

π

3

，a+b=λc（其中λ＞1）
（1）当λ=2时，证明：a=b=c；
（2）若

AC

•

BC

=λ³，求边长c的最小值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,余弦定理

专题：综合题,解三角形,平面向量及应用

分析：（1）利用正弦定理，可得sinB+sin(

2

3

π-B)=

3

，求出B，即可证明：a=b=c；
（2）

AC

•

BC

=λ³，ab=2λ³，再由a+b=λc可得c的关系式，利用导数，即可求边长c的最小值．

解答： （1）证明：∵a+b=λc，由正弦定理得，sinA+sinB=λsinC=

3

，
∴sinB+sin(

2

3

π-B)=

3

，化简得：sin(B+

π

6

)=1，∴B=

π

3

，
∴△ABC为正三角形，∴a=b=c．…（5分）
（2）解：由余弦定理得；c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab，
又由

AC

•

BC

=λ3知：ab=2λ³，再由a+b=λc可得：c2=λ2c2-6λ3⇒c2=

6λ3

λ2-1

，
设f(λ)=

6λ3

λ2-1

(λ＞1)，下面求f（λ）的最值．
求导函数：f′(λ)=

6λ2(λ+ 3 )(λ- 3 )

(λ2-1)2

，
当f'（λ）=0时，解得λ=

3

，其中λ=0，λ=-

3

舍去．
由于当1＜λ＜

3

时，f'（λ）＜0；当λ＞

3

时f'（λ）＞0，
故f（λ）在(1，

3

)上时减函数，在(

3

，+∞)上是增函数，
因此当λ=

3

时，f（λ）取极小值，又在（1，+∞）上f（λ）有且只有一个极值点，
所以当λ=

3

时，f（λ）取到最小值．f(λ)min=f(

3

)=9

3

，
于是在△ABC中边长c存在最小值，不存在最大值，其最小值为cmin=

f(λ)min

=3

4	3

．…（13分）

点评：本题考查正弦定理、余弦定理，考查导数知识的运用，确定函数关系式是关键．