Question

已知f（x）=log₂（2x-x²）．且关于x的方程2^f（x）=kx+1有两个不相等的实根x₁、x₂．
（1）求f（x）的定义域；
（2）求k的取值范围M；
（3）是否存在实数n，使得不等式n²+n+1＞2|x₁-x₂|对任意的k∈M恒成立？若存在，求出n的取值范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据对数的定义，真数大于0，得到关于x的不等式，解得即可；
（2）代入化简得到x²+（k-2）+1=0，x∈（0，2），根据根的存在条件得到关于k的不等式组，解得即可；
（3）先求出|x₁-x₂|的范围，假设存在实数n，则n²+n+1≥3，解得即可．

解答： 解：（1）由题意x（2-x）＞0，
即x（x-2）＜0，
解得0＜x＜2，
即f（x）的定义域；（0，2）；
（2）由题意得2^f（x）=kx+1?x²+（k-2）+1=0，x∈（0，2），
令g（x）=x²+（k-2）+1，
则

△=(k-2)2-4＞0 g(0)=1＞0 g(2)=4+2k-4+1＞0 0＜ 2-k 2 ＜2

，
∴k∈（-

1

2

，0），
∴M=（-

1

2

，0），
（3）由（2）知，|x₁、x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

(k-2)2-4

∈(0，

3

2

)
假设存在实数n，使得不等式n²+n+1＞2|x₁-x₂|对任意的k∈M恒成立，
则n²+n+1≥3，解得n≤-2，或n≥1，
故存在实数n，其取值范围为：（-∞，-2]∪[1，+∞）

点评：本题主要考查了对数的定义，根的存在性，以及不等式（组）的解法，考查了转化思想，属于中档题．