Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=2-a_n，n∈N^*
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=2na_n，数列{b_n}的前n项和为T_n，证明：T_n≥2．

Answer 1

考点：数列的求和,数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出S_n-S_n-1=-a_n+a_n-1，由此得到{a_n}是以1为首项，

1

2

为公比的等比数列，从而求出a_n=（

1

2

）^n-1．
（2）由b_n=2na_n=n（

1

2

）^n-2=

n

2n-2

，利用错位相减法能证明T_n≥2．

解答： （Ⅰ）解：当n=1时，a₁=S₁=1，
当n≥2时，S_n=2-a_n，S_n-1=2-a_n-1，
两式相减得：S_n-S_n-1=-a_n+a_n-1，
整理得2a_n=a_n-1，
∴

an

an-1

=

1

2

，（n≥2），
∴{a_n}是以1为首项，

1

2

为公比的等比数列，
∴a_n=（

1

2

）^n-1．
（2）证明：b_n=2na_n=n（

1

2

）^n-2=

n

2n-2

，
∴Tn=

1

2-1

+

2

20

+

3

2

+…+

n

2n-2

，①

1

2

Tn=

1

20

+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

，②
①-②得：

1

2

Tn=

1

2-1

+

1

20

+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-2

-

n

2n-1

=2+

1- 1 2n-1

1- 1 2

-

n

2n-1

=4-

1

2n-2

-

n

2n-1

，
∴T=8-

1

2n-3

-

n

2n-2

=8-

n+2

2n-2

，
∵T_n+1-T_n=（8-

n+3

2n-1

）-（8-

n+2

2n-2

）=

n+1

2n-1

＞0在n∈N^*时恒成立，
即T_n+1＞T_n，∴{T_n}单调递增，
∴{T_n}的最小值为T1=8-

3

2-1

=2，
∴T_n≥2．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．