Question

设函数f（x）=（ax²-2x）•e^x，其中a≥0．
（Ⅰ）当a=

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时，求f（x）的极值点；
（Ⅱ）若f（x）在[-1，1]上为单调函数，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求函数的导数，利用函数极值和导数之间的关系，即可求f（x）的极值点；
（Ⅱ）求函数的导数，根据函数单调性和导数之间的关系，解不等式即可得到结论．

解答： 解：对f（x）求导得f'（x）=[ax²+2（a-1）x-2]•e^x①
（I）若a=

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时，由f′(x)=0，得2x2+x-3=0，解得x1=-

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，x2=1，
综合①，可知

x	(-∞，- 3 2 )	- 3 2	(- 3 2 ，1)	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

所以，x1=-

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是极大值点，x₂=1是极小值点．（注：未注明极大、极小值扣1分）
（II）若f（x）为[-1，1]上的单调函数，又f'（0）=-2＜0，
所以当x∈[-1，1]时f'（x）≤0，
即g（x）=ax²+2（a-1）x-2≤0在[-1，1]上恒成立．                     
（1）当a=0时，g（x）=-2x-2≤0在[-1，1]上恒成立；                    
（2）当a＞0时，抛物线g（x）=ax²+2（a-1）x-2开口向上，
则f（x）在[-1，1]上为单调函数的充要条件是

g(-1)≤0 g(1)≤0

，
即

-a≤0 3a-4≤0

，所以0＜a≤

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．                     
综合（1）（2）知a的取值范围是0≤a≤

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．

点评：本题主要考查函数的极值的求解，以及函数单调性和导数的关系，考查导数的基本运算，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．