Question

数列{a_n}满足a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-1a_n=

n

2

（n∈N^*）前n项和为S_n；数列{b_n}是等差数列，且b₁=2，其前n项和T_n满足T_n=nλ•b_n+1（λ为常数，且λ＜1）．
（1）求数列{a_n}的通项公式及λ的值；
（2）设c_n=

n

an

，求数列{c_n}的前n项的和P_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由a₁+2 a₂+2² a₃+…+2^n-1a_n=

n

2

，得a₁+2 a₂+2² a₃+…+2^n-2 a_n-1=

n-1

2

，两式相减得a_n=

1

2n

；由已知条件得

2=λ(2+d) 4+d=2λ(2+2d)

，且λ＜1，解得λ=

1

2

．
（2）由C_n=n•2ⁿ，利用错位相减法能求出数列{c_n}的前n项的和P_n．

解答： 解：（1）∵a₁+2 a₂+2² a₃+…+2^n-1a_n=

n

2

，①
∴a₁+2 a₂+2² a₃+…+2^n-2 a_n-1=

n-1

2

（n≥2），②
①-②得2^n-1 a_n=

n

2

-

n-1

2

=

1

2

（n≥2），化简得a_n=

1

2n

（n≥2）．
n=1时也满足上式，故a_n=

1

2n

（n∈N^*）．
由于{b_n}成等差，且b₁=2，
设公差为d，则

2=λ(2+d) 4+d=2λ(2+2d)

，
解得

d=0 λ=2

或

d=2 λ= 1 2

又λ＜1，∴

d=2 λ= 1 2

，∴b_n=2n，
∴

d=2 λ= 1 2

，a_n=

1

2n

（n∈N^*），
∴an=

1

2n

，λ=

1

2

．
（2）∵C_n=n•2ⁿ，
∴p_n=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，③
2p_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，④
③-④得-p_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹，
∴p_n=（1-n）2ⁿ⁺¹-2．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错痊相减法的合理运用．