Question

如图，已知：平行四边形ABCD是矩形，AB=2，BC=1．PD⊥平面ABCD，且PD=3．
（1）求证：直线BC∥平面PAD；
（2）求直线PB与平面ABCD所成的角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）证明直线BC∥平面PAD，只需证明BC∥AD；
（2）判断∠PBD的大小等于直线PB与平面ABCD所成角的大小，即可求直线PB与平面ABCD所成的角的正弦值．

解答： （1）证明：因为平行四边形ABCD是矩形，所以BC∥AD，
因为BC?平面PAD，AD?平面PAD，
所以根据线面平行的判定定理可得：BC∥平面PAD；
（2）解：连接BD，则
因为PD⊥平面ABCD，
所以∠PBD的大小等于直线PB与平面ABCD所成角的大小．
因为平行四边形ABCD是矩形，AB=2，BC=1，
所以BD=

5

，
因为PD=3，
所以PB=

14

，
所以sin∠PBD=

PD

PB

=

3

14

=

3 14

14

，
所以直线PB与平面ABCD所成的角的正弦值为

3 14

14

．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握有关线线、线面平行的判定定理、性质定理．