Question

已知等比数列{a_n}的前n项和S_n=2ⁿ+m（m∈R）．
（1）求m的值及{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=2log₂a_n-13，数列{b_n}的前n项和为T_n，求T_n的最小值．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件得an=2n+m-2n-1-m=2n-1，由此能求出m．
（2）由bn=2log22n-1-13=2n-15，得{b_n}是公差为2的等差数列．由此能求出T_n的最小值．

解答： 解：（1）∵等比数列{a_n}的前n项和S_n=2ⁿ+m（m∈R），
∴an=2n+m-2n-1-m=2n-1…（2分）
∴

a

1

=1=2+m，解得m=-1．…（5分）
（2）∵an=2n-1，∴bn=2log22n-1-13=2n-15，
∴{b_n}是公差为2的等差数列．
∴Tn=(-13+2n-15)•

n

2

=n2-14n
=（n-7）²-49．
∴当n=7时，（T_n）_最小值=-49…（10分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查前n项和的最小值的求法，解题时要认真审题，注意配方法的合理运用．