Question

4．已知椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，圆C₂：x²+y²=2经过椭圆C₁的焦点．
（1）求C₁的方程；
（2）过点M（-1，0）的直线l与曲线C₁，C₂自上而下依次交于点A，B，C，D，若$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{CD}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）由题意求得c，再由椭圆离心率求得a，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（2）设出直线l的方程，联立直线方程和椭圆及圆的方程，化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系求出A与D，B与C的纵坐标的和，结合$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{CD}$列式求得m值，则直线l的方程可求．

解答 解：（1）由题意，$c=\sqrt{2}$，$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，解得$a=\sqrt{6}$，
∴b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=2，
∴C₁的方程为$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（2）设直线l的方程为x=my-1，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=my-1}\\{\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，消去x，得（2m²+3）y²-4my-10=0．
设A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{4m}{2{m}^{2}+3}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=my-1}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，消去x，得（m²+1）y²-2my-1=0．
设B（x₃，y₃），C（x₄，y₄），则${y}_{3}+{y}_{4}=\frac{2m}{{m}^{2}+1}$，
∵$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{CD}$，
∴y₃-y₁=y₂-y₄，
从而y₁+y₂=y₃+y₄，即$\frac{4m}{2{m}^{2}+3}=\frac{2m}{{m}^{2}+1}$，解得m=0．
∴直线l的方程为x=-1．

点评 本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．