Question

15．已知函数y=$\frac{2}{3}$x³-2x²+3，
（1）求在点（1，$\frac{5}{3}$）处的切线方程，
（2）求函数在[-1，3]的最值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程；
（2）求出函数的导数，令导数为0，可得极值点，分别计算极值和区间端点处的函数值，比较，即可得到所求最值．

解答 解：（1）函数y=$\frac{2}{3}$x³-2x²+3的导数为y′=2x²-4x，
可得在点（1，$\frac{5}{3}$）处的切线斜率为k=2-4=-2，
即有在点（1，$\frac{5}{3}$）处的切线方程为y-$\frac{5}{3}$=-2（x-1），
即为6x+3y-11=0；
（2）函数y=$\frac{2}{3}$x³-2x²+3的导数为y′=2x²-4x，
由y′=0，解得x=0或2，都在区间[-1，3]内，
由x=-1时，y=-$\frac{2}{3}$-2+3=$\frac{1}{3}$；
x=0时，y=3；x=2时，y=$\frac{16}{3}$-8+3=$\frac{1}{3}$；
x=3时，y=18-18+3=3．
则函数y在[-1，3]的最大值为3，最小值为$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和最值，考查化简整理的运算能力，属于基础题．