Question

10．（1）证明两角和的余弦公式C_α+β：cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ；
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知$\overrightarrow{AB}\;•\;\overrightarrow{BC}=-\;\frac{65}{2}$，$cosB=\frac{13}{14}$，b=3．求a，c（a＞c）

Answer 1

分析 （1）建立单位圆，在单位圆中作出角，找出相应的单位圆上的点的坐标，由向量的数量积公式化简整理既得；
（2）与条件利用两个向量的数量积的定义求得ac=35，再利用余弦定理求得a²+c²=74，再根据a＞c可得a和c的值．

解答 解：（1）证明：如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心，
作一单位圆，再以原点为顶点，
x轴非负半轴为始边分别作角α，β．
设它们的终边分别交单位圆于点A（cosα，sinα），
B（cos（-β），sin（-β））
即有两单位向量$\overrightarrow{OA}$=（cosα，sinα），$\overrightarrow{OB}$=（cosβ，-sinβ），
∴$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=cosαcosβ-sinαsinβ，
∵$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=|$\overrightarrow{OA}$|•|$\overrightarrow{OB}$|•cos（α+β），且|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=1，
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ
（2）∵$\overrightarrow{AB}\;•\;\overrightarrow{BC}=-\;\frac{65}{2}$，$cosB=\frac{13}{14}$，b=3．
∴$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=$\frac{65}{2}$
∴accosB=$\frac{65}{2}$，
又cosβ=$\frac{13}{14}$，
∴ac=35
由余弦定理：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{13}{14}$
∴a²+c²=74，由ac=35，a＞c，
解得a=7，c=5．

点评 本题考查平面向量的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，利用三角函数的性质合理地进行等价转化．