Question

2．已知向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$不共线，且对任意实数x，不等式$|{\overrightarrow a-x\overrightarrow b}|≥|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|$恒成立，则下列结论一定成立的是（　　）

• A． $\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$-${\overrightarrow b^2}$=0
• B． ${\overrightarrow a^2}-\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=0
• C． $\overrightarrow a$⊥$\overrightarrow b$
• D． $|{\overrightarrow a}|=|{\overrightarrow b}|$

Answer 1

分析 两边平方得出关于x的恒等式，利用二次函数的性质得出不等式化简即可得出答案．

解答 解：∵$|{\overrightarrow a-x\overrightarrow b}|≥|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|$恒成立，
∴${\overrightarrow{a}}^{2}$-2x$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+x²${\overrightarrow{b}}^{2}$≥${\overrightarrow{a}}^{2}$-2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$恒成立，
即x²${\overrightarrow{b}}^{2}$-2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$x-${\overrightarrow{b}}^{2}$+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$≥0恒成立，
∴△=4（$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$）²-4${\overrightarrow{b}}^{2}$（2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$-${\overrightarrow{b}}^{2}$）≤0，
∴（$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$）²-2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$•${\overrightarrow{b}}^{2}$+${\overrightarrow{b}}^{4}$≤0，
即（$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$-${\overrightarrow{b}}^{2}$）²≤0，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=${\overrightarrow{b}}^{2}$．
故选A．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，一元二次不等式的解法，属于中档题．