Question

14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知$\frac{cosB-2cosA}{cosC}$=$\frac{2a-b}{c}$
（Ⅰ）若b=2，求a的值；
（Ⅱ）若角A是钝角，且c=3，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把已知等式利用正弦定理化边为角，结合两角和的正弦可得sin（B+C）=2sin（A+C）．进一步得到sinA=2sinB，可得a=2b．则答案可求；
（Ⅱ）利用余弦定理结合a=2b可得b＞$\sqrt{3}$．再由两边之和大于第三边可得b＜3．

解答 解：（Ⅰ）由题意及正弦定理，得$\frac{cosB-2cosA}{cosC}=\frac{2sinA-sinB}{sinC}$，
即sinCcosB-2sinCcosA=2sinAcosC-sinBcosC，
则sinCcosB+sinBcosC=2（sinCcosA+sinAcosC），
∴sin（B+C）=2sin（A+C）．
∵△ABC中，A+B+C=π，
∴sinA=2sinB，故a=2b．
由b=2，得a=4；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，a=2b，由余弦定理可得：
cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}=\frac{{b}^{2}+9-4{b}^{2}}{6b}=\frac{9-3{b}^{2}}{6b}$＜0，
则b＞$\sqrt{3}$．
在△ABC中，b+c＞a，即b+3＞2b，则b＜3．
∴b的取值范围为（$\sqrt{3}，3$）．

点评 本题考查三角形的解法，考查余弦定理及正弦定理在解三角形中的应用，是中档题．