Question

13．已知函数$f（x）=\frac{1}{2}{x^3}+ax-b$在区间[-1，1]上为增函数，则在区间[0，1]上任意取两个实数a，b，使f（x）在区间[-1，1]上有且仅有一个零点的概率为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{6}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{7}{8}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 由题意知本题是一个几何概型，根据所给的条件很容易做出试验发生包含的事件对应的面积，而满足条件的事件是函数f（x）=$\frac{1}{2}$x³+ax-b在区间[-1，1]上有且仅有一个零点，求出导函数，看出函数是一个增函数，有零点等价于在自变量区间的两个端点处函数值符号相反，得到条件，做出面积，根据几何概型概率公式得到结果．

解答 解：由题意知本题是一个几何概型，
∵a∈[0，1]，
∴f'（x）=1.5x²+a≥0，
∴f（x）是增函数若在[-1，1]有且仅有一个零点，则f（-1）•f（1）≤0
∴（-0.5-a-b）（0.5+a-b）≤0，即（0.5+a+b）（0.5+a-b）≥0，
a看作自变量x，b看作函数y，
由线性规划内容知全部事件的面积为1×1=1，满足条件的面积为$\frac{7}{8}$，
∴概率为$\frac{\frac{7}{8}}{1}$=$\frac{7}{8}$，
故选：C．

点评 本题是一个几何概型，对于这样的问题，一般要通过把试验发生包含的事件同集合结合起来，根据集合对应的图形做出面积，用面积的比值得到结果．