Question

1．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，短轴一个端点到右焦点的距离为$\sqrt{3}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设斜率为1的直线l经过左焦点与椭圆C交于A、B两点，求弦AB的长．

Answer 1

分析 （1）根据题意，由椭圆的几何性质可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$且a=$\sqrt{3}$，解可得c的值，进而计算可得b的值，将a、b的值代入椭圆的标准方程，即可得答案；
（2）根据题意，由椭圆的方程可得左焦点的坐，即可得直线l的方程，联立直线与椭圆的方程，可得方程$4{x^2}+6\sqrt{2}x+3=0$，结合根与系数的关系由弦长公式计算可得答案．

解答 解：（1）根据题意，椭圆C的短轴一个端点到右焦点的距离为$\sqrt{3}$，则有a=$\sqrt{3}$，
又由椭圆C的离心率为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，则有e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
则有c=$\sqrt{2}$，
则b²=a²-c²=3-2=1，
则椭圆的标准方程为：$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$
（2）由（1）可得：椭圆的标准方程为：$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$，
则其左焦点的坐标为（-$\sqrt{2}$，0），则直线l的方程为：$y=x+\sqrt{2}$
则$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{3}+{y^2}=1\\ y=x+\sqrt{2}\end{array}\right.$
得$4{x^2}+6\sqrt{2}x+3=0$，
则有${x_1}+{x_2}=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，${x_1}{x_2}=\frac{3}{4}$，
$|AB|=\sqrt{2}\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=\sqrt{3}$．

点评 本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与椭圆的位置关系，关键是利用椭圆的几何性质，求出椭圆的标准方程．