Question

11．已知$\overrightarrow{a}$=（1，-2），$\overrightarrow{b}$=（-3，2）
（1）求（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$）的值．
（2）当k为何值时，k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$平行？平行时它们是同向还是反向？

Answer 1

分析 （1）运用向量模的公式，分别求得$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的模，再由向量的平方即为模的平方的性质，计算即可得到所求值；
（2）分别求出k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$的坐标，运用向量共线的坐标表示，解方程可得k的值，进而得到它们反向．

解答 解：（1）由$\overrightarrow{a}$=（1，-2），$\overrightarrow{b}$=（-3，2），
可得|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{1+4}$=$\sqrt{5}$，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{9+4}$=$\sqrt{13}$，
则（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$）=$\overrightarrow{a}$²-$\overrightarrow{b}$²=|$\overrightarrow{a}$|²-|$\overrightarrow{b}$|²=5-13=-7；
（2）k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（k-3，-2k+2），
$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$=（10，-8）
由k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$平行，
则有-8（k-3）=10（-2k+2），
得k=-$\frac{1}{3}$，
从而有k=-$\frac{1}{3}$，k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$平行，
且k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（-$\frac{10}{3}$，$\frac{8}{3}$）与$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$=（10，-8）是反向的．

点评 本题考查向量数量积的坐标表示和模的求法，以及向量的平方即为模的平方，考查向量共线的坐标表示，化简整理的运算能力，属于中档题．