Question

20．已知函数f（x）=cos²x+sinx，则f（x）的最大值与最小值的和为（　　）

• A． 0
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{9}{4}$
• D． $\frac{{2\sqrt{3}+6}}{4}$

Answer 1

分析 利用三角函数间的关系，化简f（x）=cos²x+sinx=-sin²x+sinx+1=-（sinx-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{5}{4}$，再利用正弦函数的有界性即可得到答案．

解答 解：∵f（x）=cos²x+sinx=-sin²x+sinx+1=-（sinx-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{5}{4}$，
∴当sinx=$\frac{1}{2}$时，f（x）取得最大值$\frac{5}{4}$；与最小值
当sinx=-1时，f（x）取得最小值-1；
∴f（x）的最大值与最小值的和为：$\frac{1}{4}$．
故选：B．

点评 本题考查三角函数的最值，考查正弦函数的有界性与二次函数的配方法，属于中档题．