Question

已知函数f(x)=a-

1

2x+1

，（x∈R）．
（Ⅰ）求证：不论a为何实数f（x）在（-∞，+∞）上为增函数；
（Ⅱ）若f（x）为奇函数，求a的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求f（x）在区间[1，5）上的最小值．

Answer 1

分析：（I）根据函数的单调性的定义进行判定，任取x₁＜x₂，然后判定f（x₁）-f（x₂）的符号，从而得到结论；
（II）根据奇函数的定义建立等式关系，解之即可求出a的值；
（III）根据函数在R上单调递增，求出函数f（x）在区间[1，5）上的最小值即可．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）的定义域为R，任取x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=a-

1

2x1+1

-a+

1

2x2+1

=

2x1-2x2

(1+2x1)(1+2x2)

．
∵x₁＜x₂，
∴2x1-2x2＜0，(1+2x1)(1+2x2)＞0．
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
所以不论a为何实数f（x）总为增函数．（4分）
（Ⅱ）∵f（x）在x∈R上为奇函数，
∴f（0）=0，即a-

1

20+1

=0．
解得 a=

1

2

．（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，f(x)=

1

2

-

1

2x+1

，
由（Ⅰ） 知，f（x）为增函数，
∴f（x）在区间[1，5）上的最小值为f（1）．
∵f(1)=

1

2

-

1

3

=

1

6

，
∴f（x）在区间[1，5）上的最小值为

1

6

．（12分）

点评：本题主要考查了函数的单调性和奇偶性，以及函数的最值，属于中档题．