Question

已知函数f（x）=x³-x²+ax+b．
（1）若a=1，b=0，求积分

∫

2 1

 

f(x)

x2

dx；
（2）若函数f（x）在x=1处取得极值，且函数f（x）只有一个零点，求b的取值范围．
（3）若函数f（x）在区间（-2，2）上不是单调函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由

∫

2 1

f(x)

x2

dx=

∫

2 1

(x-1+

1

x

)dx，利用定积分公式能求出结果．
（2）f′（x）=3x²-2x+a，由f′（1）=1+a=0，解得a=-1．从而得到f（x）=x³-x²-x+b，由此利用函数f（x）只有一个零点能求出b的取值范围．
（3）由f′（x）=3x²-2x+a，函数f（x）在区间（-2，2）上不是单调函数，知3x²-2x+a=0在R上有两个不相等的实根，且在（-2，2）至少有一个根，由此能求出a的取值范围．

解答：解：（1）∵f（x）=x³-x²+ax+b，a=1，b=0，
∴

∫

2 1

f(x)

x2

dx
=

∫

2 1

(x-1+

1

x

)dx
=（

1

2

x2-x+lnx）

|

2 1

=ln2+

1

2

．
（2）f′（x）=3x²-2x+a，
由f′（1）=1+a=0，解得a=-1．
∴f（x）=x³-x²-x+b，
f′（x）=3x²-2x-1
=3（x-1）（x+

1

3

），
∴当x＜-

1

3

时，f′（x）＞0，f（x）是增函数；
当-

1

3

＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）是减函数．
当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）是增函数．
∵f（-

1

3

）=

5

27

+b，f（1）=-1+b，
∴函数f（x）只有一个零点，
∴

5

27

+b＜0，或-1+b＞0，
解得b的取值范围是（-∞，-

5

27

）∪（1，+∞）．
（3）∵f′（x）=3x²-2x+a，
函数f（x）在区间（-2，2）上不是单调函数，
∴3x²-2x+a=0在R上有两个不相等的实根，
且在（-2，2）至少有一个根，
∴△=4-12a＞0，解得a＜

1

3

．
由?x∈（-2，2），使得：3x²-2x+a=0，
知a=-3x²+2x，∴-16＜a≤

1

3

，
综上所述，a的取值范围是（-16，

1

3

）．

点评：本题考查定积分的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意导数性质、零点性质、等价转化思想的合理运用．