Question

2．过抛物线y=ax²（a＞0）的焦点F作一直线交抛物线于A、B两点，若线段AF与BF的长分别为m，n，则$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$的值为（　　）

• A． 2a
• B． 4a
• C． $\frac{1}{2a}$
• D． $\frac{1}{4a}$

Answer 1

分析 方法一：抛物线y=ax²（a＞0）转化成标准方程：x²=$\frac{1}{a}$y，焦点F坐标（0，$\frac{1}{4a}$），AB直线方程为y=kx+$\frac{1}{4a}$，由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+\frac{1}{4a}}\\{y=a{x}^{2}}\end{array}\right.$，整理得 ax²-kx-$\frac{1}{4a}$=0．x₁x₂=$\frac{1}{4}$，x₁+x₂=$\frac{k}{a}$，y₁y₂=（kx₁+$\frac{1}{4a}$）（kx₂+$\frac{1}{4a}$）=$\frac{1}{16{a}^{2}}$，y₁+y₂=k（x₁+x₂）+$\frac{1}{2a}$=$\frac{{k}^{2}}{a}$，由抛物线的定义可知：m=y₁+$\frac{a}{4}$，n=y₂+$\frac{p}{2}$，则$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$=$\frac{m+n}{nm}$=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}+\frac{a}{2}}{（{y}_{1}+\frac{p}{4}）（{y}_{2}+\frac{p}{4}）}$=$\frac{\frac{{k}^{2}+1}{a}}{\frac{{k}^{2}+1}{4{a}^{2}}}$=4a；
方法二：不妨设PQ的斜率 k=0，由焦点F坐标（0，$\frac{1}{4a}$），准线方程为x=-$\frac{1}{4a}$，把直线方程 y=$\frac{1}{4a}$ 代入抛物线方程y=ax²，解得 x=±$\frac{1}{2a}$，丨AF丨=丨BF丨=$\frac{1}{2a}$，即m=n=$\frac{1}{2a}$，即可求得$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$的值．

解答 解：方法一：抛物线y=ax²（a＞0）转化成标准方程：x²=$\frac{1}{a}$y，
∴焦点F坐标（0，$\frac{1}{4a}$），准线方程为x=-$\frac{1}{4a}$，
设过F（0，$\frac{1}{4a}$）的AB直线方程为y=kx+$\frac{1}{4a}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+\frac{1}{4a}}\\{y=a{x}^{2}}\end{array}\right.$，整理得 ax²-kx-$\frac{1}{4a}$=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由韦达定理可知：x₁x₂=$\frac{1}{4}$，x₁+x₂=$\frac{k}{a}$，
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）+$\frac{1}{2a}$=$\frac{{k}^{2}}{a}$，
y₁y₂=（kx₁+$\frac{1}{4a}$）（kx₂+$\frac{1}{4a}$）=$\frac{1}{16{a}^{2}}$，
根据抛物线性质可知，m=y₁+$\frac{a}{4}$，n=y₂+$\frac{p}{2}$，
$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$=$\frac{m+n}{nm}$=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}+\frac{a}{2}}{（{y}_{1}+\frac{p}{4}）（{y}_{2}+\frac{p}{4}）}$=$\frac{\frac{{k}^{2}+1}{a}}{\frac{{k}^{2}+1}{4{a}^{2}}}$=4a，
∴$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$的值为4a，

故选B．
方法二：不妨设PQ的斜率 k=0，
抛物线y=ax²（a＞0）转化成标准方程：x²=$\frac{1}{a}$y，
焦点F坐标（0，$\frac{1}{4a}$），准线方程为x=-$\frac{1}{4a}$，
把直线方程 y=$\frac{1}{4a}$ 代入抛物线方程y=ax²，解得 x=±$\frac{1}{2a}$，
∴丨AF丨=丨BF丨=$\frac{1}{2a}$，即m=n=$\frac{1}{2a}$，
$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$=2a+2a=4a，
故选B．

点评 本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理及抛物线定义的应用，考查数形结合思想，属于中档题．