Question

12．设a为实数，函数f（x）=（x-a）²+|x-a|-a（a-1）．
（1）若f（0）≤1，求a的取值范围；
（2）求f（x）在R上的单调区间（无需使用定义严格证明，但必须有一定的推理过程）；
（3）当a＞2时，求函数g（x）=f（x）+|x|在R上的零点个数．

Answer 1

分析 （1）根据f（0）≤1列不等式，对a进行讨论解出a的范围；
（2）根据二次函数的对称轴和开口方向判断单调区间；
（3）写出g（x）的函数解析式，利用二次函数的性质判断g（x）的单调性，根据零点的存在性定理判断．

解答 解：（1）f（0）=a²+|a|-a²+a=|a|+a，因为f（0）≤1，所以|a|+a≤1，
当a≤0时，0≤1，显然成立；当a＞0，则有2a≤1，所以$a≤\frac{1}{2}$．所以$0＜a≤\frac{1}{2}$．
综上所述，a的取值范围是$（{-∞，\frac{1}{2}}]$．
（2）$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}-（{2a-1}）x，x≥a\\{x^2}-（2a+1）x+2a，x＜a\end{array}\right.$，
对于y=x²-（2a-1）x，其对称轴为$x=\frac{2a-1}{2}=a-\frac{1}{2}＜a$，开口向上，
所以f（x）在（a，+∞）上单调递增；          
对于y=x²-（2a+1）x，其对称轴为$x=\frac{2a+1}{2}=a+\frac{1}{2}＞a$，开口向上，
所以f（x）在（-∞，a）上单调递减．
综上所述，f（x）在（a，+∞）上单调递增，在（-∞，a）上单调递减．
（3）g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+（2-2a）x，x≥a}\\{{x}^{2}-2ax+2a，0≤x＜a}\\{{x}^{2}-（2a+2）x+2a，x＜0}\end{array}\right.$．
∵y₁=x²+（2-2a）x的对称轴为x=a-1，y₂=x²-2ax+2a的对称轴为x=a，y₃=x²-（2a+2）x+2a的对称轴为x=a+1，
∴g（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增．
∵g（0）=2a＞0，g（a）=a²+（2-2a）a=2a-a²=-（a-1）²+1，
∵a＞2，∴g（a）=-（a-1）²+1在（2，+∞）上单调递减，
∴g（a）＜g（2）=0．
∴f（x）在（0，a）和（a，+∞）上各有一个零点．
综上所述，当a＞2时，g（x）=f（x）+|x|有两个零点．

点评 本题考查了函数的单调性的判断，二次函数的性质，不等式的解法，分类讨论思想，属于中档题．