Question

17．某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形的休闲区A₁B₁C₁D₁（阴影部分）和环公园人行道组成．已知休闲区A₁B₁C₁D₁的面积为4000平方米，人行道的宽分别为4米和10米．
（1）若设休闲区的长A₁B₁=x米，求公园ABCD所占面积S关于x的函数S（x）的解析式；
（2）要使公园所占面积最小，休闲区A₁B₁C₁D₁的长和宽该如何设计？并求出面积最小值．

Answer 1

分析 （1）利用休闲区A₁B₁C₁D₁的面积为4000平方米，表示出${B_1}{C_1}=\frac{4000}{x}$米，进而可得公园ABCD所占面积S关于x的函数S（x）的解析式；
（2）利用基本不等式确定公园所占最小面积，即可得到结论．

解答 解：（1）由A₁B₁=x米，知${B_1}{C_1}=\frac{4000}{x}$米，
∴$S=（x+20）（\frac{4000}{x}+8）$=$4160+8x+\frac{80000}{x}（x＞0）$；
（2）$S=4160+8x+\frac{80000}{x}≥4160+2\sqrt{8x•\frac{80000}{x}}=5760$，
当且仅当$8x=\frac{80000}{x}$，即x=100时取等号，
∴要使公园所占面积最小，休闲区A₁B₁C₁D₁的长为100米、宽为40米，面积最小值为5760．

点评 本题考查函数模型的选择与应用，考查基本不等式的运用，是中档题．