Question

10．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n=1-$\frac{1}{4{a}_{n-1}}$（n≥2），设b_n=$\frac{1}{2{a}_{n}-1}$．
（1）求证：数列{b_n}是等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）通过a_n=1-$\frac{1}{4{a}_{n-1}}$、b_n=$\frac{1}{2{a}_{n}-1}$作差、计算可知b_n+1-b_n=1，进而可知数列{b_n}是以首项、公差均为1的等差数列；
（2）通过（1）可知b_n=n，通过$\frac{1}{2{a}_{n}-1}$=n可知a_n=$\frac{n+1}{2n}$．

解答 （1）证明：依题意，b_n+1-b_n=$\frac{1}{2{a}_{n+1}-1}$-$\frac{1}{2{a}_{n}-1}$
=$\frac{1}{2（1-\frac{1}{4{a}_{n}}）-1}$-$\frac{1}{2{a}_{n}-1}$
=$\frac{1}{1-\frac{1}{2{a}_{n}}}$-$\frac{1}{2{a}_{n}-1}$
=$\frac{2{a}_{n}}{2{a}_{n}-1}$-$\frac{1}{2{a}_{n}-1}$
=$\frac{2{a}_{n}-1}{2{a}_{n}-1}$
=1，
又∵b₁=$\frac{1}{2{a}_{1}-1}$=$\frac{1}{2-1}$=1，
∴数列{b_n}是以首项、公差均为1的等差数列；
（2）由（1）可知b_n=n，
∴$\frac{1}{2{a}_{n}-1}$=n，
∴a_n=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{n}$）=$\frac{n+1}{2n}$．

点评 本题考查等差数列的判定及数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．