Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为梯形，AB∥DC，∠ABC=∠CAD=90°，且PA=AB=BC，点E是棱PB上的动点．
（Ⅰ）当PD∥平面EAC时，确定点E在棱PB上的位置；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求二面角A-CE-P余弦值．

Answer 1

分析：（I）以线面平行为条件，根据线面平行的性质得到线线平行，根据平行线分线段成比例定理，得到比值．
（II）以A为原点，AB，AP所在直线分别为y轴、z轴，建立空间直角坐标系，写出要用的点的坐标，设出并求出平面的法向量，根据向量所成的角，得到二面角的余弦值．

解答：解：（Ⅰ）在梯形ABCD中，由AB⊥BC，AB=BC，得∠BAC=

π

4

，
∴∠DCA=∠BAC=

π

4

．又AC⊥AD，故△DAC为等腰直角三角形．
∴DC=

2

AC=

2

（

2

AB）=2AB．
连接BD，交AC于点M，则

DM

MB

=

DC

AB

=2
∵PD∥平面EAC，又平面EAC∩平面PDB=ME，∴PD∥EM
在△BPD中，

PE

EB

=

DM

MB

=2，
即PE=2EB时，PD∥平面EAC
（Ⅱ）以A为原点，AB，AP所在直线分别为y轴、z轴，
如图建立空间直角坐标系．
设PA=AB=BC=a，则A（0，0，0），B（0，a，0），
C（a，a，0），P（0，0，a），E（0，

2a

3

，）．
设

n1

=(x，y，1)，为平面EAC的一个法向量，
则

n1

⊥

AC

，

n1

⊥

AE

，
∴

ax+ay=0 2ay 3 + a 3 =0

，解得x=

1

2

，y=-

1

2

，
∴n

•

1

=（

1

2

，-

1

2

，1）．
设

n2

=（

•

x

，

•

y

，1）为平面PBC的一个法向量，
则

n2

⊥

BC

，

n2

⊥

BP

，
又

BC

=（a，0，0），

BP

=（0，-a，a），
∴

ax′=0 -ay′+a=0

，解得x′=0，y′=1，
∴

n2

=（0，1，1）．∴cos

＜n1

，

n2

＞

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

3

6

∴二面角A-CE-P的余弦值为

3

6

．

点评：本题考查空间向量求二面角以及直线与平面的位置关系的证明，本题的第一小题主要应用线面平行为条件，这种逆向思维的题目出现的比较多，本题第二小题解题的关键是建立坐标系，把难度比较大的二面角的求法，转化成了数字的运算．降低了难度．