Question

设数列{a_n}的前n项和为s_n，对任意的正整数n，都有a_n=5s_n+1成立，记．，
（Ⅰ）求数列{a_n}与数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明：b_2k-1+b_2k＜8（k为正整数）；
（Ⅲ）设数列{b_n}的前n项和为R_n，是否存在正整数k，使得R_k≥4k成立？若存在，找出一个正整数k；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）当n=1时，a₁=5a₁+1，∴．又∵a_n=5S_n+1，a_n+1=5S_n+1+1
∴a_n+1-a_n=5a_n+1，即，∴数列{a_n}成等比数列，其首项
∴
（II）证明：由（I）知由b_n=4+，∴b_2k-1+b_2k=8+（-4）2k-1=8
（Ⅲ）不存在正整数k，使得R_k≥4k成立．证明如下：
∴当n为偶数时，设n=2m（m∈N^*），∴R_n=（b₁+b₂）+（b₃+b₄）+…+（b_2m-1+b_2m）＜8m=4n
当n为奇数时，设n=2m-1（m∈N^*），∴R_n=（b₁+b₂）+（b₃+b₄）+…+（b_2m-3+b_2m-2）+b_2m-1＜8m-4=4n
∴对于一切的正整数n，都有R_n＜4n，∴不存在正整数k，使得R_k≥4k成立．
分析：（Ⅰ）令n等于1代入a_n=5s_n+1中，即可求出首项a₁，然后把n换为n+1，利用a_n=5s_n+1表示出a_n+1，两个式子相减并利用S_n+1-S_n=a_n化简后即可得到 的值即为公比，得到此数列为等比数列，然后根据首项和公比写出数列的通项公式即可，因而可得出b_n的通项公式；
（Ⅱ）由（I）知由b_n=4+，从而可证；
（Ⅲ）根据b_n的通项公式，算出的前n项和为R_n，再计算出是否存在正整数k．
点评：此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式及前n项和的公式化简求出，会确定一个数列为等比数列，考查数列递推式的求解及相关计算．是一道综合题．