Question

【题目】过椭圆的右焦点作轴的垂线，与椭圆在第一象限内交于点，过作直线的垂线，垂足为，．

（1）求椭圆的方程；

（2）设为圆上任意一点，过点作椭圆的两条切线，设分别交圆于点，证明：为圆的直径．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】分析：（1）由题意，即可求出和的值，求得椭圆方程.

（2）设过点P的切线方程为，代入椭圆方程，由判别式为0，求得，再由韦达定理知：，即；再讨论斜率不存在的情况即可.

详解：（1）由题知，∴，

∴椭圆的方程为；

（2）设，当切线的斜率均存在时，分别设为，

设过点的切线方程为，

与的方程联立得，

则，

即，整理得，

∴，即，

当或的斜率不存在时，必是或，又，∴，此时一条切线与轴垂直，一条切线与轴平行，仍有即，

综上，对任意点为圆的直径．