Question

12．在三棱锥PABC中，PA=BC=4，PB=AC=5，PC=AB=$\sqrt{11}$，则三棱锥PABC的外接球的表面积为（　　）

• A． 26π
• B． 12π
• C． 8π
• D． 24π

Answer 1

分析 构造长方体，使得面上的对角线长分别为4，5，$\sqrt{11}$，则长方体的对角线长等于三棱锥P-ABC外接球的直径，即可求出三棱锥P-ABC外接球的表面积．

解答 解：∵三棱锥P-ABC中，PA=BC=4，PB=AC=5，PC=AB=$\sqrt{11}$，
∴构造长方体，使得面上的对角线长分别为4，5，$\sqrt{11}$，
则长方体的对角线长等于三棱锥P-ABC外接球的直径．
设长方体的棱长分别为x，y，z，则x²+y²=16，y²+z²=25，x²+z²=11，
∴x²+y²+z²=26，
∴三棱锥P-ABC外接球的直径为$\sqrt{26}$，
∴三棱锥P-ABC外接球的表面积为4π（$\frac{\sqrt{26}}{2}$）²=26π．
故选：A．

点评 本题考查球内接多面体，考查学生的计算能力，构造长方体，利用长方体的对角线长等于四面体外接球的直径是关键．