如图, 三棱柱ABC-A1B1C1中, 侧棱A1A⊥底面ABC,且各棱长均相等. D, E, F分别为棱AB, BC, A1C1的中点.
(Ⅰ) 证明EF//平面A1CD;
(Ⅱ) 证明平面A1CD⊥平面A1ABB1;
(Ⅲ) 求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值.
(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)详见解析;(Ⅲ).
解析试题分析:(Ⅰ)连接,要证明平面,只需证明即可;(Ⅱ)欲证平面平面,即证平面内一直线与平面垂直,根据直线与平面垂直的判定定理证得平面,再根据平面与平面垂直的判定定理证明即得;(Ⅲ)先过作交于,利用(Ⅱ)中的结论得出平面,从而为所求的角,最后在直角中,求出即为直线与平面所成的角的正弦值.
试题解析:(Ⅰ)如图,在三棱柱中,且,
连接,在中,因为、分别为、的中点,所以且,
又因为为的中点,可得,且,即四边形为平行四边形,
所以,又平面,平面,平面;
(Ⅱ)由于底面是正三角形,为的中点,故,
又由于侧棱底面,平面,所以,
又,因此平面,而平面,所以平面平面;
(Ⅲ)在平面内,过点作交直线于点,连接,
由于平面平面,而直线是平面与平面的交线,
故平面,由此得为直线与平面所成的角,
设棱长为,可得,由
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,在三棱锥A-BCD中,平行于BC的平面MNPQ分别交AB、AC、CD、BD于M、N、P、Q四点,且MN=PQ.
(1)求证:四边形为平行四边形;
(2)试在直线AC上找一点F,使得.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点,AA1=AC=CB=AB.
(Ⅰ)证明:BC1∥平面A1CD;
(Ⅱ)求二面角D-A1C-E的正弦值.
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