Question

14．已知函数f（x）=log₃（2^x+1）+$\frac{a}{lo{g}_{3}（{2}^{x}+1）}$，给出如下两个命题：
p₁：若a=-2，则y=f（x）在（$\frac{2}{3}$，+∞）上只有一个零点；
p₂：?a∈[-2，-$\frac{1}{2}$]，函数y=|f（x）|在[-$\frac{1}{2}$，3]上单调递增；
则下列命题正确的是（　　）

• A． ￢p₁
• B． （￢p₁）∨p₂
• C． p₁∧p₂
• D． p₁∧（￢p₂）

Answer 1

分析 对于命题p₁：令$lo{g}_{3}（{2}^{x}+1）$=t，则t＞$lo{g}_{3}（{2}^{\frac{2}{3}}+1）$∈（log₃2，1）．令g（t）=t-$\frac{2}{t}$，利用导数研究其单调性即可判断出命题的真假．
对于p₂：令$lo{g}_{3}（{2}^{x}+1）$=t，由x∈[-$\frac{1}{2}$，3]，可得t∈$[lo{g}_{3}（\frac{\sqrt{2}}{2}+1），2]$，$lo{g}_{3}（\frac{\sqrt{2}}{2}+1）$∈$（\frac{1}{3}，\frac{1}{2}）$．函数y=|f（x）|=$|t+\frac{a}{t}|$，令h（t）=t+$\frac{a}{t}$，利用导数研究其单调性，可得其值域，进而判断出函数y=|f（x）|在[-$\frac{1}{2}$，3]上不单调．即可判断出真假．

解答 解：对于命题p₁：令$lo{g}_{3}（{2}^{x}+1）$=t，则t＞$lo{g}_{3}（{2}^{\frac{2}{3}}+1）$∈（log₃2，1）．
令g（t）=t-$\frac{2}{t}$，则g′（t）=1+$\frac{2}{{t}^{2}}$＞0，
∴函数g（t）在（$lo{g}_{3}（{2}^{\frac{2}{3}}+1）$，+∞）上单调递增．
令g（t）=0，解得t=$\sqrt{2}$，可知：$lo{g}_{3}（{2}^{x}+1）$=$\sqrt{2}$，解得x=$lo{g}_{2}（{3}^{\sqrt{2}}-1）$为唯一一个零点，因此是真命题．
对于p₂：令$lo{g}_{3}（{2}^{x}+1）$=t，∵x∈[-$\frac{1}{2}$，3]，
∴t∈$[lo{g}_{3}（\frac{\sqrt{2}}{2}+1），2]$，$lo{g}_{3}（\frac{\sqrt{2}}{2}+1）$∈$（\frac{1}{3}，\frac{1}{2}）$．
函数y=|f（x）|=$|t+\frac{a}{t}|$，令h（t）=t+$\frac{a}{t}$，h′（t）=1-$\frac{a}{{t}^{2}}$＞0，
∴函数h（t）在t∈$[lo{g}_{3}（\frac{\sqrt{2}}{2}+1），2]$内单调递增，
∵a∈[-2，-$\frac{1}{2}$]，∴$h（lo{g}_{3}（\frac{\sqrt{2}}{2}+1））$=$lo{g}_{3}（\frac{\sqrt{2}}{2}+1）$+$\frac{a}{lo{g}_{3}（\frac{\sqrt{2}}{2}+1）}$＜0，
而h（2）=$2+\frac{a}{2}$≥1，因此函数y=|f（x）|在[-$\frac{1}{2}$，3]上不单调，因此是假命题．
综上可知：只有p₁∧（￢p₂）是真命题．
故选：D．

点评 本题考查了复合命题真假的判定方法、函数的性质、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．