Question

2．已知z=x+2y，其中实数x，y满足$\left\{{\begin{array}{l}{y≥x}\\{x+y≤2}\\{x≥\frac{1}{2}}\end{array}}\right.$，则z的最大值是z的最小值的$\frac{7}{3}$倍．

Answer 1

分析 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值和最小值．

解答 解：由z=x+2y，得$y=-\frac{1}{2}x+\frac{z}{2}$，作出不等式对应的可行域，
平移直线$y=-\frac{1}{2}x+\frac{z}{2}$，由平移可知当直线$y=-\frac{1}{2}x+\frac{z}{2}$经过点A时，直线$y=-\frac{1}{2}x+\frac{z}{2}$的截距最小，此时z取得最小值，由$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=x}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，即A（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），代入z=x+2y，得z=$\frac{1}{2}$+2×$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
当直线$y=-\frac{1}{2}x+\frac{z}{2}$经过点B时，直线$y=-\frac{1}{2}x+\frac{z}{2}$的截距最大，此时z取得最大值，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{x+y=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，即B（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$），代入z=x+2y=$\frac{1}{2}$+2×$\frac{3}{2}$=$\frac{7}{2}$，
则$\frac{\frac{7}{2}}{\frac{3}{2}}$=$\frac{7}{3}$．
即z的最大值是z的最小值的$\frac{7}{3}$倍，
故答案为：$\frac{7}{3}$．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．