Question

10．x∈R时，如果函数f（x）＞g（x）恒成立，那么称函数f（x）是函数g（x）的“优越函数”．若函数f（x）=2x²+x+2-|2x+1|是函数g（x）=|x-m|的“优越函数”，则实数m的取值范围是$-\frac{1}{2}＜m＜1$．

Answer 1

分析 根据“优越函数”的定义转化为不等式恒成立问题，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：若函数f（x）=2x²+x+2-|2x-1|是函数g（x）=|x-m|的“优越函数”，
则等价于2x²+x+2-|2x+1|＞|x-m|对x∈R恒成立．
f（x）=2x²+x+2-|2x+1|=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}-x+1，}&{x≥-\frac{1}{2}}\\{2{x}^{2}+3x+3，}&{x＜-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
分别作出函数f（x）=2x²+x+2-|2x-1|和G（x）=|x-m|
当x≥m时，G（x）=x-m，
当x＜m时，G（x）=-x+m，
由图象知，当G（x）=x-m与f（x）=2x²-x+1相切时，
由2x²-x+1=x-m，即2x²-2x+1+m=0，
由判别式△=4-4×2（1+m）=4-8（1+m）=0得m=-$\frac{1}{2}$，
当G（x）=-x+m与f（x）=2x²+3x+3相切时，
由2x²+3x+3=-x+m，即2x²+4x+3-m=0，
由判别式△=16-4×2（3-m）=0得m=1，
当G（x）=-x+m与f（x）=2x²-x+1相切时，
由2x²-x+1=-x+m，即2x²+1-m=0，
由判别式△=0-4×2（1-m）=0得m=1，
综上若函数f（x）=2x²+x+2-|2x+1|是函数g（x）=|x-m|的“优越函数”，
则$-\frac{1}{2}＜m＜1$
故答案为：$-\frac{1}{2}＜m＜1$

点评 本题主要考查不等式恒成立问题，重在考察数形结合，等价转换，函数与方程的能力，图中一条直线与两段抛物线同时相切的设计是非常巧妙的．难度较大，注意要进行分类讨论．