Question

1．已知直线Ax+By+C=0（A²+B²=C²）与圆x²+y²=4交于M，N两点，O为坐标原点，则|MN|等于$2\sqrt{3}$，$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$等于-2．

Answer 1

分析 由题意，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，由弦心距、圆的半径及弦长的关系求得弦长；再解三角形求出∠MON，利用数量积公式即可求出$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$．

解答 解：如图，圆心到直线的距离是d=$\frac{|C|}{\sqrt{{A}^{2}+{B}^{2}}}$，
又A²+B²=C²，
∴d=$\frac{|C|}{\sqrt{{A}^{2}+{B}^{2}}}$=1．
又圆的半径是2，
∴|MN|=2$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}=2\sqrt{3}$；
sin∠OMN=sin∠ONM=$\frac{1}{2}$．
∴∠OMN=∠ONM=30°，可得∠MON=120°．
故$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=2×2×cos120°=-2．
故答案为：$2\sqrt{3}$，-2．

点评 本题考查数量积的公式，考查直线与圆相交的性质，点到直线的距离公式，属于中档题．