Question

11．设数列{a_n}的前n项之积为T_n，且log₂T_n=$\frac{n（n-1）}{2}$，n∈N^*．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=λa_n-1（n∈N^*），数列{b_n}的前n项和为S_n，若对任意的n∈N^*，总有S_n+1＞S_n，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （I）由log₂T_n=$\frac{n（n-1）}{2}$，n∈N^*，化为T_n=${2}^{\frac{n（n-1）}{2}}$．当n≥2时，a_n=$\frac{{T}_{n}}{{T}_{n-1}}$，当n=1时，a₁=T₁，即可得出．
（II）b_n=λa_n-1=λ2^n-1-1，利用等比数列的前n项和公式可得S_n．化简S_n+1＞S_n，再利用数列的单调性即可得出．

解答 解：（I）∵log₂T_n=$\frac{n（n-1）}{2}$，n∈N^*，∴T_n=${2}^{\frac{n（n-1）}{2}}$．
∴a₁=T₁=2⁰=1．
当n≥2时，a_n=$\frac{{T}_{n}}{{T}_{n-1}}$=$\frac{{2}^{\frac{n（n-1）}{2}}}{{2}^{\frac{（n-1）（n-2）}{2}}}$=2^n-1，当n=1时也成立．
∴a_n=2^n-1．
（II）b_n=λa_n-1=λ2^n-1-1，
数列{b_n}的前n项和为S_n=$\frac{λ（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n=λ（2ⁿ-1）-n．
由S_n+1＞S_n，可得λ（2ⁿ⁺¹-1）-（n+1）＞λ（2ⁿ-1）-n．
化为：λ•2ⁿ＞1，即λ＞$\frac{1}{{2}^{n}}$．
∵对任意的n∈N^*，总有S_n+1＞S_n，
∴λ＞$（\frac{1}{{2}^{n}}）_{max}$=$\frac{1}{2}$．
∴实数λ的取值范围是$（\frac{1}{2}，+∞）$．

点评 本题考查了递推关系、不等式的性质、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．