Question

16．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinωx，cosωx），$\overrightarrow{b}$=（2sinωx，2$\sqrt{3}$sinωx）．函数f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$+λ（x∈R）的图象关天直线x=$\frac{π}{3}$对称．且经过点（$\frac{π}{4}$，$\sqrt{3}$），其中ω，λ为实数．ω∈（0，2）．
（1）求f（x）的解析式：
（2）若锐角α，β满足f（$\frac{α}{2}$+$\frac{π}{3}$）=$\frac{2}{7}$，f（$\frac{α+β}{2}$+$\frac{π}{12}$）=$\frac{5\sqrt{3}}{7}$．求β的值．

Answer 1

分析 （1）根据数量积的坐标运算及二倍角的正余弦公式、两角差的正弦公式可求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，从而得出$f（x）=2sin（2ωx-\frac{π}{6}）+1$，而由f（x）的图象关于$x=\frac{π}{3}$对称可得到$2ω•\frac{π}{3}-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}+kπ，k∈Z$，而由ω的范围即可求出k，从而可得到ω=1，再根据f（x）经过点$（\frac{π}{4}，\sqrt{3}）$便可求出λ=-1，从而得出$f（x）=2sin（2x-\frac{π}{6}）$；
（2）根据条件α，β为锐角及$f（\frac{α}{2}+\frac{π}{3}）=\frac{2}{7}，f（\frac{α+β}{2}+\frac{π}{12}）=\frac{5\sqrt{3}}{7}$即可求出cosα，sinα，sin（α+β），cos（α+β）的值，而根据sinβ=sin[（α+β）-α]及两角差的正弦公式即可求出sinβ，从而便可得出β的值．

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=2si{n}^{2}ωx+2\sqrt{3}sinωxcosωx$
=$1-cos2ωx+\sqrt{3}sin2ωx$
=$2sin（2ωx-\frac{π}{6}）+1$；
∴$f（x）=2sin（2ωx-\frac{π}{6}）+1+λ$；
∵f（x）的图象关于$x=\frac{π}{3}$对称；
∴$2ω•\frac{π}{3}-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}+kπ$，k∈Z；
∴$ω=1+\frac{3k}{2}$；
∵ω∈（0，2）；
∴$0＜1+\frac{3k}{2}＜2$；
解得$-\frac{2}{3}＜k＜\frac{2}{3}$；
∴k=0；
∴ω=1；
∴$f（x）=2sin（2x-\frac{π}{6}）+1+λ$，又f（x）经过点$（\frac{π}{4}，\sqrt{3}）$；
∴$\sqrt{3}=2sin\frac{π}{3}+1+λ$；
∴λ=-1；
∴$f（x）=2sin（2x-\frac{π}{6}）$；
（2）$f（\frac{α}{2}+\frac{π}{3}）=2sin（α+\frac{π}{2}）=2cosα=\frac{2}{7}$，$f（\frac{α+β}{2}+\frac{π}{12}）=2sin（α+β）=\frac{5\sqrt{3}}{7}$；
∴$cosα=\frac{1}{7}，sin（α+β）=\frac{5\sqrt{3}}{14}$；
∵α，β为锐角；
∴$sinα=\frac{4\sqrt{3}}{7}$＞sin（α+β）；
∴α+β为钝角；
∴$cos（α+β）=-\frac{11}{14}$；
∴sinβ=sin[（α+β）-α]
=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα
=$\frac{5\sqrt{3}}{14}×\frac{1}{7}-（-\frac{11}{14}）×\frac{4\sqrt{3}}{7}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
β为锐角；
∴$β=\frac{π}{3}$．

点评 考查向量数量积的坐标运算，二倍角的正余弦公式，以及两角差的正弦公式，正弦函数在$（0，\frac{π}{2}）$上的单调性，sin²α+cos²α=1，拆角的方法：β=（α+β）-α，以及已知三角函数值求角．