Question

4．在平行四边形ABCD中，AB=2，BC=1，∠ABC=120°，平面ABCD内有一点P，满足AP=$\sqrt{5}$，若$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AD}$（λ，μ∈R），则2λ+μ的最大值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}}{3}$
• B． $\frac{2\sqrt{15}}{3}$
• C． $\frac{3\sqrt{5}}{4}$
• D． $\frac{\sqrt{15}}{6}$

Answer 1

分析 可作出图形，根据题意可知λ，μ＞0，根据条件对$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AD}$两边平方，进行数量积的运算便可得到5=4λ²+2λμ+μ²=（2λ+μ）²-2λμ，由基本不等式即可得出2λ+μ的范围，从而便可得出2λ+μ的最大值．

解答 解：如图，依题意知，λ＞0，μ＞0；
根据条件，
5=${\overrightarrow{AP}}^{2}={λ}^{2}{\overrightarrow{AB}}^{2}+2λμ\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}+{μ}^{2}{\overrightarrow{AD}}^{2}$
=4λ²+2λμ+μ²
=$（2λ+μ）^{2}-2λμ≥（2λ+μ）^{2}-（\frac{2λ+μ}{2}）^{2}$=$\frac{3}{4}（2λ+μ）^{2}$；
∴$（2λ+μ）^{2}≤\frac{20}{3}$；
∴$2λ+μ≤\frac{2\sqrt{15}}{3}$；
∴2λ+μ的最大值为$\frac{2\sqrt{15}}{3}$．
故选B．

点评 考查向量数量积的运算及计算公式，以及配方法的应用，基本不等式的应用，一元二次不等式的解法．