Question

20．已知△ABC三个顶点坐标分别为A（0，0），B（4，0），C（0，3），点P是△ABC内切圆上一点．
（1）求△ABC内切圆的方程；
（2）求以PA、PB、PC为直径的三个圆的面积之和的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由已知得AB⊥AC，AB=4，AC=3，BC=5，由此求出△ABC内切圆的半径和圆心，由此能求出△ABC内切圆的方程．
（2）三个圆面积之和的最值问题实质上是求|PA|²+|PB|²+|PC|²的最值，由于P是△ABC内切圆上的点，若想找P点坐标必须先从△ABC内切圆的方程入手．

解答 解：（1）∵△ABC三个顶点坐标分别为A（0，0），B（4，0），C（0，3）
∴AB⊥AC，AB=4，AC=3，BC=$\sqrt{16+9}$=5，
∴△ABC内切圆的半径r=$\frac{3+4-5}{2}$=1，圆心（1，1），
∴△ABC内切圆的方程为（x-1）²+（y-1）²=1．
（2）设P（x，y），由△ABC的内切圆方程（x-1）²+（y-1）²=1，得x²+y²-2x-2y+1=0．①
|PA|²+|PB|²+|PC|²
=（x-4）²+y²+x²+（y-3）²+x²+y²
=3x²+3y²-8x-6y+25，②
由①知x²+y²-2y=2x-1，
将其代入②，有|PA|²+|PB|²+|PC|²=3（2x-1）-8x+25=-2x+22，
∵x∈[0，2]，∴|PA|²+|PB|²+|PC|²的最大值为22，最小值为18，
以PA、PB、PC为直径的三个圆的面积之和：
S=$π（\frac{|PA|}{2}）^{2}$+$π（\frac{|PB|}{2}）^{2}$+$π（\frac{|PC|}{2}）^{2}$
=$\frac{π}{4}$（|PA|²+|PB|²+|PC|²），
∴以PA、PB、PC为直径的三个圆的面积之和的最大值为$\frac{11π}{2}$，最小值为$\frac{9π}{2}$．

点评 本题考查三角形内切圆方程的求法，考查三个圆的面积之和的最值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．