Question

15．已知关于x的方程x²+zx+1+2i=0有实根，则复数z的模的最小值为$\sqrt{2\sqrt{5}+2}$．

Answer 1

分析 设x=x₀是方程x²+zx+1+2i=0的实数根，可求得z=-x₀-$\frac{1}{{x}_{0}}$-$\frac{2}{{x}_{0}}$i，继而可得其模的解析式，应用基本不等式即可求得答案．

解答 解：设x=x₀是方程x²+zx+1+2i=0的实数根，
则${{x}_{0}}^{2}$+zx₀+1+2i=0，
即z=-x₀-$\frac{1}{{x}_{0}}$-$\frac{2}{{x}_{0}}$i，
|z|=$\sqrt{{（{-x}_{0}-\frac{1}{{x}_{0}}）}^{2}{+（\frac{2}{{x}_{0}}）}^{2}}$=$\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+\frac{5}{{{x}_{0}}^{2}}+2}$≥$\sqrt{2\sqrt{5}+2}$，
当且仅当x₀=±$\root{4}{5}$时，等号成立．
∴|z|的最小值为：$\sqrt{2\sqrt{5}+2}$，
故答案为：$\sqrt{2\sqrt{5}+2}$．

点评 本题考查复数代数形式的混合运算，考查复数模的应用，熟练应用基本不等式是求|z|的最小值的关键，属于中档题．