Question

3．在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，AB=4，AD=6，AA′=8，∠BAD=90°，∠BAA′=∠DAA′=60°，P是CC₁的中点．
（Ⅰ）用$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{AA'}$表示$\overrightarrow{AP}$；
（Ⅱ）求AP的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据向量加法、数乘的几何意义和相等向量的概念便可以得出$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AA′}$；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）${\overrightarrow{AP}}^{2}=（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AA′}）^{2}$，这样根据条件进行数量积的计算便可求出${\overrightarrow{AP}}^{2}$的值，从而便可得出AP的长度．

解答 解：（Ⅰ）$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CP}$
=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CC′}$
=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AA′}$；
（Ⅱ）根据条件，${\overrightarrow{AP}}^{2}=（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AA′}）^{2}$
=${\overrightarrow{AB}}^{2}+{\overrightarrow{AD}}^{2}+\frac{1}{4}{\overrightarrow{AA′}}^{2}+2\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$$+\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AA′}+\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AA′}$
=16+36+16+0+16+24
=108；
∴$|\overrightarrow{AP}|=6\sqrt{3}$．

点评 考查向量的加法和数乘的几何意义，相等向量的概念，以及数量积的运算及计算公式，要求$|\overrightarrow{AP}|$而求${\overrightarrow{AP}}^{2}$的方法．