Question

6．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}，x＞0}\\{x+1，x≤0}\end{array}\right.$，$f（{{{log}_2}\frac{1}{3}}）的值等于$$lo{g}_{2}\frac{2}{3}$，若f（a）+f（1）=0，则实数a的值等于-3．

Answer 1

分析 由$lo{g}_{2}\frac{1}{3}$＜0，利用分段函数性质得f（$lo{g}_{2}\frac{1}{3}$）=$lo{g}_{2}\frac{1}{3}$+1；由f（1）=2，f（a）+f（1）=0，得f（a）=-2．当a＞0时，f（a）=2^a=-2；当a≤0时，f（a）=a+1=-2．由此能求出结果．

解答 解：∵函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}，x＞0}\\{x+1，x≤0}\end{array}\right.$，
∴f（$lo{g}_{2}\frac{1}{3}$）=$lo{g}_{2}\frac{1}{3}$+1=$lo{g}_{2}（\frac{1}{3}×2）$=$lo{g}_{2}\frac{2}{3}$．
∵f（1）=2，f（a）+f（1）=0，f（a）=-2，
当a＞0时，f（a）=2^a=-2，不成立；
当a≤0时，f（a）=a+1=-2，解得a=-3．
∴实数a的值为-3．
故答案为：${log_2}\frac{2}{3}$，-3．

点评 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分段函数性质的合理运用．