Question

1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，（a+b+c）（b+c-a）=3bc，a=$\sqrt{3}$，tanB=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，则b的值为$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 由已知整理可得：b²+c²-a²=bc，利用余弦定理可得cosA=$\frac{1}{2}$，从而可求A，又由tanB=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，B为三角形内角，利用同角三角函数基本关系式可求cosB，sinB的值，由正弦定理即可解得b的值．

解答 解：∵（a+b+c）（b+c-a）=3bc，
∴整理可得：b²+c²-a²=bc，
∴由余弦定理可得：cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{bc}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
∴A=$\frac{π}{3}$．
又∵tanB=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，B为三角形内角，
∴cosB=$\sqrt{\frac{1}{1+ta{n}^{2}B}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{1}{3}$，
∴由正弦定理可得：$\frac{\sqrt{3}}{sin\frac{π}{3}}$=$\frac{b}{\frac{1}{3}}$，解得：b=$\frac{2}{3}$．
故答案为：$\frac{2}{3}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了转化思想和计算能力，属于中档题．