Question

1．若随机事件A在一次试验中发生的概率为p（0＜p＜1），用随机变量ξ表示A在一次试验发生的次数，则$\frac{4Dξ-1}{Eξ}$的最大值为（　　）

• A． 2
• B． -1
• C． 0
• D． 1

Answer 1

分析 由已知得随机变量ξ的所有可能取值为0，1，且P（ξ=1）=p，P（ξ=0）=1-p，推导出 E（ξ）=p，D（ξ）=p-p²，从而得到$\frac{4Dξ-1}{Eξ}$=4-（4p+$\frac{1}{p}$），由此利用均值定理能求出$\frac{4Dξ-1}{Eξ}$的最大值．

解答 解：随机变量ξ的所有可能取值为0，1，
并且有P（ξ=1）=p，P（ξ=0）=1-p，
从而 E（ξ）=0×（1-p）+1×p=p，
D（ξ）=（0-p）²×（1-p）+（1-p）²×p=p-p²，
$\frac{4Dξ-1}{Eξ}$=$\frac{4（p-{p}^{2}）-1}{p}$=4-（4p+$\frac{1}{p}$），
∵0＜p＜1，
∴4p+$\frac{1}{p}$$≥2\sqrt{4p×\frac{1}{p}}$=4，
当4p=$\frac{1}{p}$，p=$\frac{1}{2}$时，取“=”，
∴当p=$\frac{1}{2}$时，
$\frac{4Dξ-1}{Eξ}$取得最大值0．
故选：C．

点评 本题考查关于数学期望和方差的代数式的取大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意离散型随机变量的数学期望与方差的性质的合理运用．