Question

13．若关于x的不等式（2x-1）²＜ax²的解集中整数解恰有3个，则实数a的取值范围是（$\frac{25}{9}$，$\frac{49}{16}$]．

Answer 1

分析 由题意，原不等式转化为[（$\sqrt{a}$+2）x-1][（$\sqrt{a}$-2）x+1]＞0，得到a的解集，由解集中的整数恰有3个，且为1，2，3，得到a的不等式，解不等式可得a的范围．

解答 解：由题知，a＞0 则
（2x-1）²＜ax²即为ax²-（2x-1）²＞0．
即（$\sqrt{a}$x+2x-1）（$\sqrt{a}$x-2x+1）＞0，
即[（$\sqrt{a}$+2）x-1][（$\sqrt{a}$-2）x+1]＞0，
由于$\sqrt{a}$+2＞0，而不等式的解答中恰有3个整数解，
故必有$\sqrt{a}$-2＜0，即必有a＜4，
所以不等式可变为[（$\sqrt{a}$+2）x-1][（2-$\sqrt{a}$）x-1]＜0，
解得$\frac{1}{\sqrt{a}+2}$＜x＜$\frac{1}{2-\sqrt{a}}$，
又0＜$\frac{1}{\sqrt{a}+2}$＜1，结合解集中恰有两个整数，即为1，2，3
可得3＜$\frac{1}{2-\sqrt{a}}$≤4，
解得$\frac{25}{9}$＜a≤$\frac{49}{16}$．
所以a的取值范围为（$\frac{25}{9}$，$\frac{49}{16}$]．
故答案为：（$\frac{25}{9}$，$\frac{49}{16}$]．

点评 本题考查学生解含参一元二次不等式的能力，运用一元二次不等式解决数学问题的能力．