精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
(本小题满分12分)
已知函数为自然对数的底数).
时,求的单调区间;若函数上无零点,求最小值;
若对任意给定的,在上总存在两个不同的),使成立,求的取值范围.
(1) 的单调递减区间为(0,2),单调递增区间为(2,).
(2) 的最小值为.
(3) 时,对任意给定的,在上总存在两个不同的),使得成立。

试题分析:解:(I)当时,,则.由;由.故的单调递减区间为(0,2),单调递增区间为(2,).
(II)因为在区间上恒成立是不可能的,故要使函数上无零点,只要对任意,恒成立.即对,恒成立.令,则,再令,则。故为减函数,于是,从而,于是上为增函数,所以,故要使恒成立,只要.综上可知,若函数上无零点,则的最小值为
.
(III),所以上递增,在上递减.又
,所以函数上的值域为.当时,不合题意;当时,
时,,由题意知,上不单调,故,即。此时,当变化时,的变化情况如下:






0
+


最小值

又因为当时,,所以,对任意给定的,在上总存在两个不同的),使得成立,当且仅当满足下列条件:
,令,则,故当,函数单调递增,当,函数单调递减,所以,对任意的,有,即(2)对任意恒成立,则(3)式解得(4)。综合(1)、(4)可知,当时,对任意给定的,在上总存在两个不同的),使得成立。
点评:解决该试题的关键是能利用函数的导数符号判定其单调性,以及根据函数的单调性得到最值,同时能结合函数与方程的知识求解根的问题,属于中档题。
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知函数
(1)时,求的最小值;
(2)若上是单调函数,求实数的取值范围。

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

已知f(x)是定义在(0,+)上的非负可导函数,且满足。对任意正数a、b,若a<b,则必有(   )
A.af(b)≤bf(a)B.bf(a)≤af(b)
C.af(a)≤f(b)D. bf(b)≤f(a)

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

(本题满分14分)已知函数
(Ⅰ)求的单调区间;
(Ⅱ)如果当时,恒成立,求实数的范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

函数的单调递增区间为______________ 递减区间为____________

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

(本小题12分)
已知奇函数对任意,总有,且当时,.
(1)求证:上的减函数.
(2)求上的最大值和最小值.
(3)若,求实数的取值范围。

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知函数.
(Ⅰ)当时,讨论的单调性;
(Ⅱ)设时,若对任意,存在,使,求实数的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

函数在区间单调递增,则实数的取值范围为
A.B.C.D.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

函数的单调递减区间是        .

查看答案和解析>>

同步练习册答案