试题分析:解:(I)当
时,
,则
.由
得
;由
得
.故
的单调递减区间为(0,2),单调递增区间为(2,
).
(II)因为
在区间
上恒成立是不可能的,故要使函数
在
上无零点,只要对任意
,
恒成立.即对
,
恒成立.令
,
,则
,再令
,
,则
。故
在
为减函数,于是
,从而
,于是
在
上为增函数,所以
,故要使
恒成立,只要
.综上可知,若函数
在
上无零点,则
的最小值为
.
(III)
,所以
在
上递增,在
上递减.又
,
,所以函数
在
上的值域为
.当
时,不合题意;当
时,
,
。
当
时,
,由题意知,
在
上不单调,故
,即
。此时,当
变化时,
,
的变化情况如下:
又因为当
时,
,
,
,所以,对任意给定的
,在
上总存在两个不同的
),使得
成立,当且仅当
满足下列条件:
,令
,
,则
,故当
时
,函数
单调递增,当
时
,函数
单调递减,所以,对任意的
,有
,即(2)对任意
恒成立,则(3)式解得
(4)。综合(1)、(4)可知,当
时,对任意给定的
,在
上总存在两个不同的
),使得
成立。
点评:解决该试题的关键是能利用函数的导数符号判定其单调性,以及根据函数的单调性得到最值,同时能结合函数与方程的知识求解根的问题,属于中档题。