Question

8．已知函数f（x）=$\frac{sinx}{{e}^{x}}$．
（1）若曲线y=f（x）在点（x₀，f（x₀））处的切线平行于x轴，求x₀的值；
（2）若函数f（x）在区间（$\frac{a-1}{4}$π，$\frac{2a-1}{4}$π）（a＞0）上的增函数，求实数a的取值范围；
（3）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，不等式f（x）≤bx恒成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，由条件可得f′（x₀）=0，运用同角三角函数的商数关系，解方程即可得到；
（2）求出导数大于等于0的解集，由题意可得解集包含（$\frac{a-1}{4}$π，$\frac{2a-1}{4}$π），得到不等式解得即可；
（3）首先确定b＞0，当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，不等式f（x）≤bx恒成立?sinx≤bxe^x?sinx-bxe^x≤0恒成立，
令h（x）=sinx-bxe^x，则问题转化为当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，不等式h（x）≤0恒成立，求实数b的取值范围．通过导数判断单调性，讨论b≥1，0＜b＜1，求出最值，即可得到b的范围．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{cosx-sinx}{{e}^{x}}$，由题意可得f′（x₀）=0，即cosx₀-sinx₀=0，
即tanx₀=1，求得x₀=kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z；
（2）由f′（x）≥0，即sinx-cosx≤0，$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$）≤0，
可得2k$π-\frac{3π}{4}$≤x≤2kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z，
函数f（x）在区间（$\frac{a-1}{4}$π，$\frac{2a-1}{4}$π）（a＞0）上的增函数，
即有$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{\frac{a-1}{4}π≥2kπ-\frac{3π}{4}}\\{\frac{2a-1}{4}π≤2kπ+\frac{π}{4}，k∈Z}\end{array}\right.$，即为$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{8k-2≤a≤4k+1，k∈Z}\end{array}\right.$，
由8k-2≤4k+1，解得k$≤\frac{3}{4}$，
当k=0时，0＜a≤1，k为负整数．上述不等式的解集为∅．
综上可得0＜a≤1；
（3）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，f（x）=$\frac{sinx}{{e}^{x}}$≤bx恒成立，
当x=0时，f（x）=$\frac{sinx}{{e}^{x}}$≤bx成立；
当x∈（0，$\frac{π}{2}$]时，$\frac{sinx}{x{e}^{x}}$＞0，若f（x）≤bx，即b≥$\frac{sinx}{x{e}^{x}}$恒成立，显然b＞0，
当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，不等式f（x）≤bx恒成立?sinx≤bxe^x?sinx-bxe^x≤0恒成立，
令h（x）=sinx-bxe^x，
则问题转化为当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，不等式h（x）≤0恒成立，求实数b的取值范围．
h′（x）=cosx-be^x（x+1），
当x∈（0，$\frac{π}{2}$）时，e^x＞1，x+1＞1，h′（x）＜cosx-b＜cos0-b=1-b，
当1-b≤0时，h′（x）＜0，h（x）在（0，$\frac{π}{2}$）递减；
当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，h（x）≤h（0）=0，可得b≥1成立；
当0＜b＜1时，h′（0）=1-b＞0，h′（$\frac{π}{2}$）=-b${e}^{\frac{π}{2}}$（1+$\frac{π}{2}$）＜0，
h′（x）在（0，$\frac{π}{2}$）递减，
由零点存在定理可得存在唯一的x₀∈（0，$\frac{π}{2}$），使得h′（x₀）=0，
于是当x∈（0，x₀）?（0，$\frac{π}{2}$），h′（x）＞0，
则当x∈（0，x₀），h（x）递增，
即有h（x）＞h（0）=0，
可见0＜b＜1不成立．
综上可得b的取值范围是[1，+∞）．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间，同时考查函数的单调性的运用，考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，运用分类讨论的思想方法和正确求导是解题的关键．