Question

18．已知函数f（x）=（$\sqrt{3}$sinx-cosx）（$\sqrt{3}$cosx+sinx），x∈R，
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）将y=f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位后得到偶函数y=g（x）的图象，求m的最小值．

Answer 1

分析 （1）由和差角公式化简可得f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），解不等式2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得函数的单调递增区间；
（2）易得g（x）=2sin（2x+2m-$\frac{π}{3}$），由偶函数易得m=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{5π}{12}$，k∈Z，结合m的范围可得最小值．

解答 解：（1）化简可得f（x）=（$\sqrt{3}$sinx-cosx）（$\sqrt{3}$cosx+sinx）
=3sinxcosx+$\sqrt{3}$sin²x-$\sqrt{3}$cos²x-sinxcosx
=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$
∴f（x）的单调递增区间为[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]（k∈Z）；
（2）由 （1）可知，g（x）=2sin[2（x+m）-$\frac{π}{3}$]=2sin（2x+2m-$\frac{π}{3}$），
∵函数y=g（x）为偶函数，∴函数y=g（x）的图象关于y轴对称
∴2m-$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，解得m=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{5π}{12}$，k∈Z，
又∵m＞0，∴当k=0时m取得最小值$\frac{5π}{12}$

点评 本题考查三角函数的图象和性质，涉及设计师的单调性和对称性以及和差角公式的应用，属中档题．