Question

6．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1+cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$（θ为参数）．
（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；
（Ⅱ）若曲线C向左平移一个单位，再经过伸缩变换$\left\{{\begin{array}{l}{x'=2x}\\{y'=y}\end{array}}\right.$得到曲线C'，设M（x，y）为曲线C'上任一点，求$\frac{x^2}{4}-\sqrt{3}xy-{y^2}$的最小值，并求相应点M的直角坐标．

Answer 1

分析 （I）由 $\left\{\begin{array}{l}x=1+cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$（θ为参数），利用平方关系可得曲线C的普通方程为（x-1）²+y²=1，再利用互化公式可得曲线C的极坐标方程．
（Ⅱ）（x-1）²+y²=1，向左平移一个单位再经过伸缩变换$\left\{{\begin{array}{l}{x'=2x}\\{y'=y}\end{array}}\right.$，得到曲线C'的直角坐标方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，设M（2cosα，sinα），代入$\frac{x^2}{4}-\sqrt{3}xy-{y^2}$化简，利用三角函数的单调性即可得出．

解答 解：（I）由 $\left\{\begin{array}{l}x=1+cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$（θ为参数）得曲线C的普通方程为（x-1）²+y²=1
得曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ．…（4分）
（Ⅱ）（x-1）²+y²=1，向左平移一个单位再经过伸缩变换$\left\{{\begin{array}{l}{x'=2x}\\{y'=y}\end{array}}\right.$，
得到曲线C'的直角坐标方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，设M（2cosα，sinα），
则$\frac{x^2}{4}-\sqrt{3}xy-{y^2}={cos^2}α-2\sqrt{3}sinacosα-{sin^2}a$=$cos2a-\sqrt{3}sin2α=2cos（2α+\frac{π}{3}）$…（7分）
当$α=kπ+\frac{π}{3}$（k∈Z）时，$\frac{x^2}{4}-\sqrt{3}xy-{y^2}$的最小值为-2，
此时点M的坐标为$（1，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$或$（-1，-\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$．…（10分）

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、直角坐标方程化为极坐标方程、椭圆参数方程的应用、倍角公式、和差公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．