Question

3．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，Sn+3）（n∈N^*）在函数y=3×2^x的图象上，等比数列{b_n}满足b_n+b_n+1=a_n（n∈N^*）．其前n项和为T_n，则下列结论正确的是（　　）

• A． S_n=2T_n
• B． T_n=2b_n+1
• C． T_n＞a_n
• D． T_n＜b_n+1

Answer 1

分析 根据题意，将点（n，Sn+3）坐标代入函数y=3×2^x中，可得S_n+3=3×2ⁿ，即S_n=3×2ⁿ-3，据此构造S_n-1=3×2^n-1-3，分析可得数列{a_n}的通项公式，对于等比数列{b_n}，设其公比为q，由题意可得b₁+b₂=b₁（1+q）=3和b₂+b₃=b₂（1+q）=b₁q（1+q）=6，解可得b₁=1，q=2，即可得数列{b_n}的通项公式，由等比数列前n项和公式计算可得T_n的表达式，据此依次分析选项，即可得答案．

解答 解：根据题意，对于数列{a_n}，点（n，Sn+3）（n∈N^*）在函数y=3×2^x的图象上，
则有S_n+3=3×2ⁿ，即S_n=3×2ⁿ-3，①；
由①可得：S_n-1=3×2^n-1-3，②
①-②可得：a_n=（3×2ⁿ-3）-（3×2^n-1-3）=3×2^n-1，（n≥2）③
n=1时，a₁=S₁=3×2-3=3，
验证可得：n=1时，a₁=3符合③式；
则a_n=3×2^n-1，
对于等比数列{b_n}，设其公比为q，
等比数列{b_n}满足b_n+b_n+1=a_n（n∈N^*），n=1时，有b₁+b₂=b₁（1+q）=3，④
n=2时，有b₂+b₃=b₂（1+q）=b₁q（1+q）=6，⑤
联立④⑤，解可得b₁=1，q=2，
则b_n=2^n-1，
则有T_n=$\frac{1（1-{2}^{n}）}{1-2}$=2ⁿ-1，
据此分析选项：
对于A、S_n=3×2ⁿ-3=3（2ⁿ-1），T_n=2ⁿ-1，则有S_n=3T_n，故A错误；
对于B、T_n=2ⁿ-1，b_n=2^n-1，T_n=2b_n-1，故B错误；
对于C、n=1时，T₁=2-1=1，a₁=3×2⁰=3，T_n＞a_n不成立，故C错误；
对于D、T_n=2ⁿ-1，b_n+1=2ⁿ，则有T_n＜b_n+1，D正确；
故选：D．

点评 本题考查数列的递推公式，关键是求出数列{a_n}、{b_n}的通项公式．